Trong không gian $Oxyz$, xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=4+t\end{array}$ với $(P)$ có tọa độ là

Giả sử $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$ với $a,b,c>0$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ dạng đoạn chắn:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Vì $A(2;1;3)\in (P)$ nên $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}=1$.
Thể tích tứ diện $OMNP$ là $V=\frac{1}{6}abc$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương $\frac{2}{a},\frac{1}{b},\frac{3}{c}$:
$1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{2\cdot 1\cdot 3}{abc}}=3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}$
$⟹1\ge 27\cdot \frac{6}{abc}⟹abc\ge 162$.
Thể tích $V=\frac{1}{6}abc\ge 27$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{3}{c}=\frac{1}{3}⟹a=6,b=3,c=9$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{9}=1⟺3x+6y+2z-18=0$.
Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$3(2+t)+6(1-t)+2(4+t)-18=0⟺-t+2=0⟺t=2$.
Với $t=2$, tọa độ giao điểm là $x=4,y=-1,z=6$.
Vậy giao điểm là $(4;-1;6)$. Chọn D.