Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$, $d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=-t\end{array}$. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
d₁ qua A(1;2;-1) với vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(2;-2;-1)$; d₂ có ${\vec{u}}_2=(1;0;-1)$. Gọi $\vec{n}=(a;b;c)$ là vectơ pháp tuyến của (P). Vì d₁ ⊂ (P): $\vec{n}\cdot {\vec{u}}_1=0\Rightarrow 2a-2b-c=0$. Góc giữa d₂ và (P) bằng 45° nên $\sin 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{u}}_2|}{|\vec{n}|\cdot |{\vec{u}}_2|}=\frac{|a-c|}{|\vec{n}|\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |a-c|=|\vec{n}|$. Chọn b=1, khi đó c=2a-2, phương trình trở thành $(2-a{)}^2=a^2+1+(2a-2{)}^2\iff 4a^2-4a+1=0\iff a=\frac{1}{2}$. Suy ra $\vec{n}=(\frac{1}{2};1;-1)$, chọn $\vec{n}=(1;2;-2)$. Kiểm tra: $\vec{n}\cdot {\vec{u}}_1=2-4+2=0$; $\sin \angle =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Mặt phẳng qua A(1;2;-1): $1+2\cdot 2-2\cdot (-1)+D=0\Rightarrow D=-7$. Vậy $(P):x+2y-2z-7=0$.