Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng $(\Delta )$ qua $M(2;3;1)$ và song song với hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-7=0$ và $(Q):x+3y-2z+3=0$

(AI giải đề cho tôi)
VTPT của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;2)$, của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;3;-2)$. Vì $(\Delta )$ song song với cả hai mặt phẳng nên vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 2\\ 1& 3& -2\end{array}\right|=(2-6;2+4;6+1)=(-4;6;7)$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_P}=(-4)(2)+6(-1)+7(2)=0$ và $\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_Q}=(-4)(1)+6(3)+7(-2)=0$, đúng. Chọn $\vec{u}=(-4;6;7)$ (hoặc $(4;-6;-7)$). Đường thẳng qua $M(2;3;1)$ nên phương trình tham số: $x=2-4t,y=3+6t,z=1+7t$ (với $t\in \mathbb{R}$).