Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;-2;-2)$, vuông góc với mặt phẳng $(Oxz)$ đồng thời khoảng cách từ điểm $B(3;1;-3)$ đến $(P)$ bằng $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Hãy viết phương trình mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)\perp (Oxz)$ nên pháp tuyến của $(P)$ vuông góc với $(0;1;0)$, suy ra $\vec{n}=(a;0;c)$ và $(P):ax+cz+d=0$.

Qua $A(1;-2;-2)$: $a-2c+d=0\Rightarrow d=2c-a$.

Khoảng cách từ $B(3;1;-3)$ đến $(P)$:
$$d(B,(P))=\frac{|3a-3c+d|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{|2a-c|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

Bình phương: $5(2a-c{)}^2=9(a^2+c^2)\iff 11a^2-20ac-4c^2=0$. Đặt $t=\frac{a}{c}$: $11t^2-20t-4=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=-\frac{2}{11}$.

• Với $a=2c$: chọn $c=1$, $d=0$, được $(P):2x+z=0$. Kiểm tra: $A$: $2-2=0$; $d(B,(P))=\frac{|6-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (thỏa).

• Với $a=-\frac{2}{11}c$: chọn $c=11$, $a=-2$, $d=24$, được $(P):-2x+11z+24=0$. Kiểm tra: $A$: $-2-22+24=0$; $d(B,(P))=\frac{|-6-33+24|}{\sqrt{125}}=\frac{15}{5\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (thỏa).

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $2x+z=0$ và $-2x+11z+24=0$.