Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;-1)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{\Delta }}=1\cdot 1+1\cdot (-2)+(-1)\cdot (-1)=1-2+1=0$.

Vì tích vô hướng bằng $0$, hai vectơ chỉ phương vuông góc, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $90^{\circ }$.

Kiểm tra: $|\overrightarrow{u_d}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{u_{\Delta }}|=\sqrt{6}$, $\cos \phi =\frac{0}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=0\Rightarrow \phi =90^{\circ }$.