Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$, $B(3;0;8)$; $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|$ bằng:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;b;0)$ vì $A\in (Oxy)$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Trung điểm hình vuông là $I$ cũng là trung điểm $BD$: $I\left(\frac{3-5}{2};\frac{0-4}{2};\frac{8+0}{2}\right)=(-1;-2;4)$, suy ra $C=2I-A=(-2-a;-4-b;8)$.

Điều kiện hình vuông: $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-a;-b;8)$, $\overrightarrow{AD}=(-5-a;-4-b;0)$.

Tích vô hướng bằng 0: $(3-a)(-5-a)+b(b+4)=0\iff (a+1{)}^2+(b+2{)}^2=20$.

Đẳng cấp hai cạnh: $(3-a{)}^2+b^2+64=(5+a{)}^2+(4+b{)}^2\iff 2a+b=4$.

Thay $b=4-2a$: $(a+1{)}^2+(6-2a{)}^2=20\iff 5a^2-22a+17=0\iff a=1$ hoặc $a=3,4$. Vì $a$ nguyên nên $a=1$, $b=2$. Vậy $A(1;2;0)$, $C(-3;-6;8)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(2;-2;8)$, $|\overrightarrow{AB}{|}^2=72$; $\overrightarrow{AD}=(-6;-6;0)$, $|\overrightarrow{AD}{|}^2=72$; tích vô hướng $=-12+12+0=0$. Thỏa mãn.

Tính $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}=(4;8;-8)$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=(6;6;0)$.
Suy ra $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(10;14;-8)$, nên $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{100+196+64}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$ với $M$ trung điểm $AB$. Cạnh hình vuông $s=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$, nên $CM=\sqrt{s^2+\frac{s^2}{4}}=\frac{s\sqrt{5}}{2}$, do đó $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=2CM=s\sqrt{5}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{10}$. Hai cách cho cùng kết quả.