Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và hai điểm $M(4;-4;2),N(6;0;6)$. Gọi $E$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $E$.

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;2)$, bán kính $R=3$.
Gọi $H$ là trung điểm của $MN\Rightarrow H(5;-2;4)$.
Ta có $(EM+EN{)}^2\le 2(E{M}^2+E{N}^2)=4E{H}^2+M{N}^2$.
Do đó $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất khi $EH$ lớn nhất, tương đương với $E$ là giao điểm của tia đối tia $IH$ với mặt cầu $(S)$.
Vectơ $\overrightarrow{IH}=(4;-4;2)=2(2;-2;1)$.
Vectơ pháp tuyến của tiếp diện tại $E$ cùng phương với $\overrightarrow{IH}$, tức $\vec{n}=(2;-2;1)$.
Phương trình tiếp diện có dạng $2x-2y+z+D=0$. Đối chiếu các phương án ta thấy phương án D thỏa mãn: $2x-2y+z+9=0$.