Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_3\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$. Tìm giá trị $P_{\max }$ của biểu thức $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$.

Chọn C.
Phương trình tương đương:
${\log }_3(3x+3y)+(3x+3y)={\log }_3(x^2+y^2+xy+2)+(x^2+y^2+xy+2)$.
Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến, ta suy ra $3x+3y=x^2+y^2+xy+2$.
Biến đổi: $(2x+y{)}^2-6(2x+y)+5=-3(y-1{)}^2\le 0\Rightarrow 1\le 2x+y\le 5$.
Khi đó $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}=1+\frac{2x+y-5}{x+y+6}\le 1$ (do $2x+y-5\le 0$ và $x+y+6>0$).
Dấu bằng xảy ra khi $2x+y=5$ và $y=1\Rightarrow x=2$. Vậy $P_{\max }=1$.