Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z=0$ và điểm $M(0;1;0)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất. Gọi $N(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho $ON=\sqrt{6}$. Khi đó $y_0$ bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và bán kính $R=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2-0}=\sqrt{6}$.
Ta có khoảng cách $IM=\sqrt{(0+1{)}^2+(1-2{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{3}<R$, do đó điểm $M$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ cắt $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$.
Diện tích hình tròn $(C)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $d(I,(P))$ lớn nhất $⟺(P)\perp IM$ tại $M$.
Do đó $(P)$ nhận $\overrightarrow{IM}=(1;-1;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$1(x-0)-1(y-1)-1(z-0)=0⟺x-y-z+1=0$
Vì $N(x_0;y_0;z_0)\in (C)\subset (S)$ nên $N$ nằm trên mặt cầu $(S)$:
$x_0^2+y_0^2+z_0^2+2x_0-4y_0-2z_0=0$
Mà $ON=\sqrt{6}⟹x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$. Thay vào phương trình mặt cầu:
$6+2x_0-4y_0-2z_0=0⟺x_0-2y_0-z_0+3=0$
Mặt khác, $N\in (P)$ nên $x_0-y_0-z_0+1=0$.
Trừ hai phương trình cho nhau, ta được:
$(x_0-y_0-z_0+1)-(x_0-2y_0-z_0+3)=0⟺y_0-2=0⟺y_0=2$
Vậy $y_0=2$. Chọn B.