Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và điểm $M(2;2;1)$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A,B$. Khi biểu thức $T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ có giá trị bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;1)$ và bán kính $R=2$. Khoảng cách $IM=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1<R$, nên điểm $M$ nằm trong mặt cầu. Ta có $MA\cdot MB=R^2-I{M}^2=4-1=3$. Áp dụng BĐT AM-GM: $T=MA+4MB\ge 2\sqrt{MA\cdot 4MB}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=4MB$. Kết hợp $MA\cdot MB=3\Rightarrow 4M{B}^2=3\Rightarrow MB=\frac{\sqrt{3}}{2},MA=2\sqrt{3}$. Tuy nhiên khi $M$ nằm giữa $A$ và $B$ trên đường kính, đoạn $AB$ lớn nhất bằng $2R=4$. Khi $T$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ bằng 4. Chọn A.