Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm $A(5;2)$, $B(-3;4)$, $C(3;-4)$.
a, Xác định tọa độ vectơ $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
b, Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho $\widehat{AMC}=90^{\circ }$.

a, Ta có $\overrightarrow{AB}=(-8;2)\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=(-16;4)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-8)$ (0,25 điểm), suy ra $\vec{u}=(-10;-4)$ (0,25 điểm).

b, Điểm $M\in Ox$ nên $M(x;0)$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}=(5-x;2),\overrightarrow{MC}=(3-x;-4)$.

Theo đề bài, $\widehat{AMC}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=0\iff (5-x)(3-x)-8=0$ (0,25 điểm)

$\iff x^2-8x+7=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=7\end{array}\right]$ (0,25 điểm)

Vậy có hai trường hợp điểm $M$ thoả mãn bài toán là: $M(1;0)$ và $M(7;0)$.