Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí có tọa độ $(a;b)$ và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $A(6;-2)$, $B(2;4)$, $C(-3;1)$ nhận được cùng một thời điểm. Tính $a+b$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Tín hiệu nhận cùng thời điểm nên vị trí phát $(a;b)$ cách đều $A,B,C$, tức là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Trung trực $AB$: trung điểm $(4;1)$, $AB$ có hệ số góc $\frac{4+2}{2-6}=-\frac{3}{2}$ nên trung trực có hệ số góc $\frac{2}{3}$: $y=1+\frac{2}{3}(x-4)=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.

Trung trực $BC$: trung điểm $\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$, $BC$ có hệ số góc $\frac{1-4}{-3-2}=\frac{3}{5}$ nên trung trực có hệ số góc $-\frac{5}{3}$: $y=\frac{5}{2}-\frac{5}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x$.

Giải hệ: $\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x\Rightarrow 7x=10\Rightarrow x=\frac{10}{7}$, $y=\frac{2}{3}\cdot \frac{10}{7}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{7}$.

Kiểm tra: ${\left(\frac{10}{7}-6\right)}^2+{\left(-\frac{5}{7}+2\right)}^2=\frac{1936+81}{49}=\frac{2017}{49}$; với $B$: ${\left(\frac{10}{7}-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{7}-4\right)}^2=\frac{16+1089}{49}=\frac{1105}{49}$... tính lại: $\frac{10}{7}-2=-\frac{4}{7}$, $-\frac{5}{7}-4=-\frac{33}{7}$, tổng $\frac{16+1089}{49}=\frac{1105}{49}$; với $A$: $\frac{10}{7}-6=-\frac{32}{7}$, $-\frac{5}{7}+2=\frac{9}{7}$, tổng $\frac{1024+81}{49}=\frac{1105}{49}$. Bằng nhau ✓ (với $C$: $\frac{10}{7}+3=\frac{31}{7}$, $-\frac{5}{7}-1=-\frac{12}{7}$, tổng $\frac{961+144}{49}=\frac{1105}{49}$ ✓).

Vậy $a+b=\frac{10}{7}-\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\approx 0,7$.