Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí có tọa độ $(a;b)$ và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $A(6;-2)$, $B(2;4)$, $C(-3;1)$ nhận được cùng một thời điểm. Tính $a+b$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Tín hiệu nhận cùng lúc tại A, B, C nên vị trí phát $(a;b)$ cách đều ba điểm, tức là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $A(6;-2)$, $B(2;4)$, $C(-3;1)$.

Trung trực của $AB$: trung điểm $(4;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-4;6)$, phương trình: $-4(x-4)+6(y-1)=0\iff 2x-3y-5=0$.

Trung trực của $AC$: trung điểm $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{AC}=(-9;3)$: $-9\left(x-\frac{3}{2}\right)+3\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\iff -3x+y+5=0\iff y=3x-5$.

Thay vào phương trình đầu: $2x-3(3x-5)-5=0\iff -7x+10=0\iff x=\frac{10}{7}$, $y=3\cdot \frac{10}{7}-5=-\frac{5}{7}$.

Kiểm tra: $P{A}^2=P{B}^2=P{C}^2=\frac{1105}{49}$ ✓.

Vậy $a+b=\frac{10}{7}-\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\approx 0,7$.