Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+2y+8=0$ và các điểm $A(1;2),B(-2;1),C(-5;3)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng d sao cho $P=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: b) Vecto chỉ phương BC = (-3;2) nên BC có VTPT (2;3), thay B(-2;1): -4+3+1=0, thay C(-5;3): -10+9+1=0, vậy BC: 2x+3y+1=0 → đúng. a) d(A,BC) = |2·1+3·2+1|/√13 = 9/√13 = 9√13/13 → đúng. c) P = 3·OM - (OA+OB+OC) = 3·OM - (-6;6), |P| nhỏ nhất khi M là hình chiếu của trọng tâm G(-2;2) lên d: x+2y+8=0. Vì x_G+2y_G+8 = 10, ta có M = G - (10/5)(1;2) = (-4;-2), nên a+b = -6 → đúng. d) E(20;-14) thuộc d (20-28+8=0) nhưng không thuộc BC (2·20+3·(-14)+1 = -1 ≠ 0), nên E không là giao điểm của BC và d → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
d(A,BC) = |2·1+3·2+1|/√13 = 9/√13 = 9√13/13.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC qua B(-2;1), C(-5;3) có VTPT (2;3): 2x+3y+1=0, thỏa cả B và C.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = 3·OM - (-6;6) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G(-2;2) trên d, tính được M(-4;-2) nên a+b = -6.
d) (AI giải đề cho tôi)
E(20;-14) thuộc d nhưng 2·20+3·(-14)+1 = -1 ≠ 0 nên E không thuộc BC, do đó không là giao điểm của BC và d.