Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai véc tơ $\vec{a}=(1;1)$, $\vec{b}=(-1;2)$, $\vec{c}=(1;3)$. Biểu diễn $\vec{b}=2m\vec{a}-n\vec{c}$, $(m;n\in \mathbb{R})$, tìm $m$, $n$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2m\vec{a}-n\vec{c}=(2m-n;2m-3n)$. Yêu cầu $2m\vec{a}-n\vec{c}=\vec{b}=(-1;2)$ dẫn đến hệ: $2m-n=-1$ và $2m-3n=2$. Trừ hai phương trình: $(2m-n)-(2m-3n)=2n=-1-2=-3$, suy ra $n=-\frac{3}{2}$. Thay vào: $2m=-1+n=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$, suy ra $m=-\frac{5}{4}$. Kiểm tra: $2m\vec{a}-n\vec{c}=-\frac{5}{2}(1;1)+\frac{3}{2}(1;3)=(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2};-\frac{5}{2}+\frac{9}{2})=(-1;2)=\vec{b}$ đúng. Vậy $m=-\frac{5}{4},n=-\frac{3}{2}$.