Trong mặt phẳng với hệ trục $Oxy$, cho điểm $A(-1;2)$ và đường thẳng $d:x+2y+1=0$.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $O$, $A$ với $O$ là gốc tọa độ.

b) Viết phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ song song với $d$ và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $AMN$ bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21.

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $O(0;0)$ và $A(-1;2)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(-1;2)$. Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=2t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$.

b) Vì $d^{\prime }$ song song với $d:x+2y+1=0$ nên $d^{\prime }$ có dạng $x+2y+c=0$ ($c\ne 1$ để không trùng $d$). Giao với $Ox$: $M(-c;0)$, giao với $Oy$: $N(0;-c/2)$.

Ta có $\overrightarrow{MA}=(c-1;2)$, $\overrightarrow{MN}=(c;-c/2)$.

Diện tích tam giác $AMN$: $S=\frac{1}{2}\left|\det \left(\begin{array}{cc}c-1& 2\\ c& -c/2\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|(c-1)\left(-\frac{c}{2}\right)-2c\right|=\frac{1}{4}\left|c^2+3c\right|$.

Cho $S=1$: $|c^2+3c|=4\iff c^2+3c-4=0\iff c=1$ hoặc $c=-4$.

- Với $c=1$: $d^{\prime }$ trùng với $d$ (không song song theo nghĩa nghiêm ngặt) $\to$ loại.
- Với $c=-4$: $d^{\prime }:x+2y-4=0$, khi đó $M(4;0)$, $N(0;2)$, kiểm tra: $\overrightarrow{MA}=(-5;2)$, $\overrightarrow{MN}=(-4;2)$, diện tích $=\frac{1}{2}|(-5)(2)-(2)(-4)|=\frac{1}{2}|-2|=1$ ✓.

Vậy $d^{\prime }:x+2y-4=0$.