Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo $1m$. Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là $3m$. Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là $a+b\sqrt{3}$ (trong đó $a,b$ là các số tự nhiên). Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, dây xích gồm: từ mỗi thanh treo hai dây chụm về hai điểm gặp nhau (ở độ sâu $h$ so với thanh treo), rồi từ hai điểm đó dây thẳng đứng xuống giá đỡ (mỗi đoạn dài $1-h$).

Đặt hai điểm gặp nhau tại vị trí $p$ và $q$ theo phương ngang, độ sâu $h$. Tổng độ dài dây:
$$L=\sqrt{p^2+h^2}+\sqrt{q^2+h^2}+\sqrt{(3-p{)}^2+h^2}+\sqrt{(3-q{)}^2+h^2}+2(1-h).$$

Với $h$ cố định, mỗi tổng $\sqrt{p^2+h^2}+\sqrt{(3-p{)}^2+h^2}$ nhỏ nhất khi $p=1,5$ (điểm giữa), giá trị $2\sqrt{2,25+h^2}$; tương tự $q=1,5$. Do đó:
$$L(h)=4\sqrt{2,25+h^2}+2-2h.$$

Tìm cực tiểu: $L^{\prime }(h)=\frac{4h}{\sqrt{2,25+h^2}}-2=0\Rightarrow \frac{h}{\sqrt{2,25+h^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 4h^2=2,25+h^2\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Khi đó $\sqrt{2,25+h^2}=\sqrt{3}$, nên:
$$L_{\min }=4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=2+3\sqrt{3}.$$

Vậy $a=2$, $b=3$, suy ra $a+b=5$, khớp với đáp án nguồn (đáp số 6 của mã đề 1201 là 5).