Trong một hộp kín đựng 20 viên bi được đánh số từ 1 đến 20. Bạn An chọn ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp, xác suất để 4 số trên 4 viên bi được chọn lập thành một cấp số cộng là $\frac{1}{a}$. Tính $a$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{20}^4=4845$. Bốn số $x_1<x_2<x_3<x_4$ lập thành một cấp số cộng với công sai $d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $x_4=x_1+3d\le 20⟹3d\le 19⟹d\in \{1,2,3,4,5,6\}$.
- Với $d=1$: $x_1\in \{1,\dots ,17\}$ có 17 bộ.
- Với $d=2$: $x_1\in \{1,\dots ,14\}$ có 14 bộ.
- Với $d=3$: $x_1\in \{1,\dots ,11\}$ có 11 bộ.
- Với $d=4$: $x_1\in \{1,\dots ,8\}$ có 8 bộ.
- Với $d=5$: $x_1\in \{1,\dots ,5\}$ có 5 bộ.
- Với $d=6$: $x_1\in \{1,2\}$ có 2 bộ.
Tổng số bộ thỏa mãn là: $17+14+11+8+5+2=57$ bộ. Xác suất là $P=\frac{57}{4845}=\frac{1}{85}⟹a=85$.