Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(4;-2;1)$, song song với mặt phẳng $(\alpha ):3x-4y+z-12=0$ và cách $A(-2;5;0)$ một khoảng lớn nhất.

Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng qua $M(4;-2;1)$ và song song với $(\alpha )$: $(\beta ):3(x-4)-4(y+2)+1(z-1)=0\iff 3x-4y+z-21=0$.
Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\beta )$.
Khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ lớn nhất khi $\Delta \perp HM$ với $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(\beta )$.
Khi đó VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=[{\vec{n}}_{\alpha },\overrightarrow{AM}]$ hoặc $[{\vec{n}}_{\alpha },[{\vec{n}}_{\alpha },\overrightarrow{AM}]]$.
Tính toán tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ cùng phương với $(1;1;1)$, đi qua $M(4;-2;1)$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=-2+t\\ z=1+t\end{array}$.