Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm nằm trên đường thẳng $d:x-6y-10=0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình $d_1:3x+4y+5=0$ và $d_2:4x-3y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(6t+10;t)$ (thỏa $x-6y-10=0$). Khoảng cách từ $I$ đến $d_1$: $\frac{|3(6t+10)+4t+5|}{5}=\frac{|22t+35|}{5}$; đến $d_2$: $\frac{|4(6t+10)-3t-5|}{5}=\frac{|21t+35|}{5}$. Tiếp xúc với cả hai đường nên hai khoảng cách bằng nhau: $22t+35=\pm (21t+35)$.
• Trường hợp $+$: $t=0\Rightarrow I(10;0)$, $r=\frac{35}{5}=7$. Kiểm tra: $d(I,d_1)=\frac{|30+5|}{5}=7$, $d(I,d_2)=\frac{|40-5|}{5}=7$.
• Trường hợp $-$: $43t+70=0\Rightarrow t=-\frac{70}{43}$, khi đó $r=\frac{\left|22\left(-\frac{70}{43}\right)+35\right|}{5}=\frac{35}{43\cdot 5}=\frac{7}{43}$; kiểm tra $d(I,d_2)=\frac{\left|21\left(-\frac{70}{43}\right)+35\right|}{5}=\frac{7}{43}$ đúng.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn.