Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1;2)$, $B(5;2)$ và $C(7;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- $A(1;2)$: $1+4-2a-4b+c=0\Rightarrow 2a+4b-c=5$.
- $B(5;2)$: $25+4-10a-4b+c=0\Rightarrow 10a+4b-c=29$.
- $C(7;-3)$: $49+9-14a+6b+c=0\Rightarrow 14a-6b-c=58$.

Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=24\Rightarrow a=3$. Thay vào: $6+4b-c=5\Rightarrow c=4b+1$. Phương trình thứ ba: $42-6b-(4b+1)=58\Rightarrow 41-10b=58\Rightarrow b=-\frac{17}{10}$, khi đó $c=4\left(-\frac{17}{10}\right)+1=-\frac{29}{5}$.

Vậy tâm $I\left(3;-\frac{17}{10}\right)$, bán kính $R^2=a^2+b^2-c=9+\frac{289}{100}+\frac{29}{5}=\frac{900+289+580}{100}=\frac{1769}{100}$, tức $R=\frac{\sqrt{1769}}{10}$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(3-1{)}^2+{\left(-\frac{17}{10}-2\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{B}^2=(5-3{)}^2+{\left(2+\frac{17}{10}\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{C}^2=(7-3{)}^2+{\left(-3+\frac{17}{10}\right)}^2=16+\frac{169}{100}=\frac{1769}{100}$ ✓.

Phương trình đường tròn: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+\frac{17}{10}\right)}^2=\frac{1769}{100}$.