Với $a$ là tham số, cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^2-5}+ax& \text{neˆˊu }x>3,\\ x+5& \text{neˆˊu }x\le 3.\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)=x+5\to -\infty$, nên khẳng định Đúng.
b) Với $a=1$: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2-5}+x\right)={\lim }_{x\to +\infty }\left(x\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}+x\right)=+\infty \ne 0$, nên Sai.
c) Với $a=-1$: $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$ khi $x\to +\infty$, không phải $+\infty$, nên Sai.
d) Liên tục tại $x=3$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 3^{-}}(x+5)=8$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 3^{+}}(\sqrt{x^2-5}+ax)=\sqrt{4}+3a=2+3a$. Liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$, nên Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 3$, $f(x)=x+5\to -\infty$ khi $x\to -\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$, $\sqrt{x^2-5}+x\approx 2x\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, không bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-1$, $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$, không phải $+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tại $x=3$ bằng 8, giới hạn phải bằng $2+3a$; liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$.