Xét phương trình lượng giác $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

a) Phương trình tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.

b) Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{7\pi }{6}$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;2\pi )$ bằng $\frac{5\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình sin(x - π/3) = 1/2. Vì 1/2 = sin(π/6), ta có x - π/3 = π/6 + k2π hoặc x - π/3 = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π. Suy ra x = π/2 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k ∈ ℤ).
a) Sai: sin(π/3) = √3/2 ≠ 1/2, nên phương trình không tương đương với sin(x - π/3) = sin(π/3).
b) Đúng: nghiệm tổng quát đúng như trên.
c) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất là x = π/2 (khi k = 0), không phải 7π/6.
d) Đúng: các nghiệm thuộc (0; 2π) là x = π/2 và x = 7π/6, tổng bằng π/2 + 7π/6 = 3π/6 + 7π/6 = 10π/6 = 5π/3. Kết quả khớp đáp án nguồn (SĐĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(π/3) = √3/2 ≠ 1/2 nên hai phương trình không tương đương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ sin(x - π/3) = 1/2 = sin(π/6) suy ra x - π/3 = π/6 + k2π hoặc x - π/3 = 5π/6 + k2π, tức x = π/2 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là x = π/2 (k = 0 ở họ nghiệm đầu), nhỏ hơn 7π/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong (0; 2π) là π/2 và 7π/6; tổng = π/2 + 7π/6 = 5π/3.