Xét trên khu vực biển khá nhỏ ta xem mặt biển là một mặt phẳng. Đặt vào mặt phẳng ấy một hệ trục tọa độ $Oxy$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Có ba hòn đảo là $A(0;2)$, $B(18;26)$ và $C(7;8)$. Một chiếc tàu chở khách tham quan du lịch đi thẳng từ đảo $A$ đến đảo $B$ (hình minh họa). Khi tàu di chuyển thì du khách thấy đảo $C$. Trong quá trình tàu di chuyển từ đảo $A$ đến đảo $B$, khoảng cách ngắn nhất của chiếc tàu và đảo $C$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-11=0$ và đường thẳng $d:3x-y+10=0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :4x-3y+8=0$ và điểm $S(-6;1)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong lớp 10A10 có 25 bạn nam và 21 bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp để làm cán bộ lớp. Tính xác suất của các biến cố $B$: "Ba bạn được chọn đều là nữ" (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khoảng cách từ điểm $C(3;-1)$ đến đường thẳng $\Delta :8x+6y-5=0$ có dạng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản$)$. Tính giá trị biểu thức $3a-2b$?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tính góc tạo bởi đường thẳng $d:2x+y-5=0$ và $\Delta :x-y+11=0$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $E(1;-1)$ và $F(8;0)$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $K(13;-4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5;-2)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn tâm $I(3;-2)$ và đi qua điểm $N(0;1)$.

Một nhà khảo cổ phát hiện một chiếc hộp cổ được niêm phong bằng một mật mã gồm 7 chữ số đối mặt khác nhau, được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp các chữ số $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Mật mã này không bắt đầu bằng số 0.
a) Tổng số mật mã hợp lệ có thể tạo ra từ tập $S$ là không gian mẫu của bạn. Tính số phần tử của tập $S$.
b) Để mở chiếc hộp, mật mã phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện bí ẩn sau:
Tính đối xứng: Ba chữ số đầu tiên phải là ba chữ số lẻ và ba chữ số cuối cùng phải là ba chữ số chẵn.
Tính trung tâm: Chữ số nằm ở vị trí chính giữa phải là một chữ số không nhỏ hơn 4.
Hãy tính xác suất để một mật mã được chọn ngẫu nhiên từ tập $S$ thoả mãn hai điều kiện trên (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).