Tập xác định của hàm số $y=\log (x-1)$ là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+4)(x-3),\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-2024}{x+1}$ là

Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ có dạng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Giới hạn ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{3x-2}{2x+1}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Cho tứ diện $ABCD$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề **đúng**?

Kết quả khảo sát đo chiều cao một số học sinh ta được mẫu số liệu như sau:

| Chiều cao (cm) | $[155;157)$ | $[157;159)$ | $[159;161)$ | $[161;163)$ | $[163;165)$ | $[165;167)$ |
|—|—|—|—|—|—|—|
| Số học sinh | $3$ | $6$ | $4$ | $5$ | $5$ | $6$ |

Một cửa hàng bán sầu riêng ruột đỏ Thái Lan với giá bán là $120000$ đồng/$1\text{ kg}$. Giá nhập vào là $80000$ đồng/$1\text{ kg}$. Với giá bán này cửa hàng bán được $60\text{ kg}/1$ ngày. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cứ giảm $5000$ đồng/$1\text{ kg}$ thì số sầu riêng ruột đỏ bán được sẽ tăng thêm là $10\text{ kg}$.

Cho hàm số $f(x)=3x-{\log }_4(x+1)$.

Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+5\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị $T=8a+8b+2c$.

Một chiếc hộp có dạng là một hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là một hình vuông cạnh bằng $x\text{ (cm)}$. Biết tổng diện tích các mặt của chiếc hộp bằng $243{\text{ (cm}}^2\text{)}$. Tìm $x$ để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?

Một công ty kinh doanh dịch vụ nghỉ dưỡng nhận thấy rằng: Nếu áp dụng mức giá $4$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $120$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $14$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $2$ người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng giảm đi $4$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá đi $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $2$ người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng tăng thêm $4$ ngày. Hỏi công ty cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là $3$ triệu đồng và Sở du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho $\tan \alpha =\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $A=\frac{5\sin \alpha +3\cos \alpha }{7\sin \alpha -2\cos \alpha }$ bằng $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N};b\ne 0$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $100a+b$?

Một xí nghiệp may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may $1$ áo vest hết $2\text{ m}$ vải và cần $20$ giờ; may $1$ quần âu hết $1,5\text{ m}$ vải và cần $5$ giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá $880\text{ m}$ vải và số giờ công không vượt quá $5600$ giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest bán ra và số lượng quần âu bán ra không vượt quá $2$ lần số lượng áo vest bán ra. Khi xuất ra thị trường, $1$ chiếc áo vest lãi $350$ nghìn đồng, $1$ chiếc quần âu lãi $100$ nghìn đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số áo vest và quần âu xí nghiệp cần may và bán ra thị trường để xí nghiệp có số tiền lãi cao nhất. Tính $T=2x+3y$?

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{1}{12}$ với $AB=\frac{1}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $T=2m-n$.