Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)\le {\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)=-1;f(b)=3$. Khi đó ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x+2x$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-\frac{z}{2}=1$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SD$ tạo với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ một góc bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=3$. Xác định số hạng thứ ba của cấp số nhân $(u_n)$.

Mỗi ngày bác Thanh đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Thanh trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Giá trị trung bình của mẫu dữ liệu trên là

Trong một khảo sát về sức khỏe cộng đồng tại thành phố Hà Nội. Giả sử tỉ lệ người dân của thành phố Hà Nội nghiện thuốc lá là $20\%$; Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$, trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$.
Gọi $A$ là biến cố "người nghiện thuốc lá".
Gọi $B$ là biến cố "người bị bệnh phổi".
Khi đó:

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ có đồ thị như hình vẽ.

Một nhóm học sinh tại một trường THPT tham gia cuộc thi thiết kế "Ngôi nhà mơ ước" trong chương trình học STEM. Nhiệm vụ của các bạn là mô hình hóa cấu trúc của một ngôi nhà trên phần mềm dựng hình 3D bằng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian $32$ giây chạy đầu tiên ta có $v_A=\frac{1}{450}{t}^3-\frac{47}{450}{t}^2+\frac{64}{45}t(\text{m/s})$; $v_B=a{t}^2+bt(\text{m/s})$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $y=a{t}^2+bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.

Kim tự tháp ở Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là $262\text{ m}$ và cạnh bên là $230\text{ m}$. Giả sử, từ một mặt bên của kim tự tháp ta cần đào một con đường thẳng ngắn nhất để đi đến tâm của đáy kim tự tháp, khi đó quãng đường ngắn nhất có độ dài khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\text{ (cm)}$; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x\text{ (cm)}$, với $x\text{ (cm)}$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị ${\text{cm}}^3$) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm dược liệu T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu, người ta nhận thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm dược liệu T là $x$ (đơn vị: USD) thì số sản phẩm dược liệu T mà các nhà máy có thể sản xuất là: $R(x)=x-200$ và số sản phẩm dược liệu T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước là: $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn lại doanh nghiệp sẽ xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là: $x_0=3200$ (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Ở một số vùng quê ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, đám hỏi... Bác An tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB=5\text{ m}$ và $AD=12\text{ m}$. Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác An xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $5\text{ cm}$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $8\text{ cm}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ để xác định xem vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu $\text{cm}$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}$. Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Diện tích của mặt cầu đó có kết quả là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Tại trường THPT Ngô Quyền-Đông Anh có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của nhà trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?