(7,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $(u_n-u_{n-1})(u_n-1)(u_{n-1}+1)=u_n{u}_{n-1}$ và $0<u_n\le u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

b) Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Chứng minh rằng, $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$ với mọi $n\ge 1$.

(7,0 điểm) Cho $a$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và $A=a^{p-1}+a^{p-2}+\cdots +a+1$.

a) Chứng minh rằng, nếu $d$ là ước nguyên tố của $A$ thì $p=d$ hoặc $p\mid (d-1)$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ $p$ sao cho tồn tại $a$ để $A+1$ là một lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.

(6,0 điểm) Cho hai đường tròn $(I),(J)$ không cùng bán kính, tiếp xúc ngoài tại điểm $M$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tương ứng tại $E,F$. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(I),(J)$ tại $M$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A,D$. Đường thẳng $AE$ cắt đường tròn $(I)$ tại $K$. Đường thẳng $AF$ cắt đường tròn $(J)$ tại $L$. Đường thẳng $KL$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$, $C$ và cắt đường thẳng $FE$ tại điểm $P$.

a) Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DBC$.

b) Chứng minh rằng ba điểm $I,J,P$ thẳng hàng.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$; $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$, $OX$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$, $YI$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $D$ qua $YQ$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $Q$ thẳng hàng.

b) Gọi $T$ là hình chiếu của $E$ lên $FD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AP$, $BT$ và $OI$ đồng quy.

(7,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước $999\times 999$.

a) Điền vào mỗi ô của bảng một số nguyên dương. Cho phép thay đổi số ô trong bảng, theo quy tắc: giảm bớt 1 đơn vị của số ghi trong mỗi ô ở một hàng tùy ý, mà ở tất cả các ô của hàng đó đều khác 0; hoặc gấp đôi số của mỗi ô ở một cột tùy ý. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện hữu hạn lần phép thay đổi nói trên, để tất cả các số trong bảng giống nhau.

b) Tô màu đen một số ô trong bảng sao cho trong mỗi bảng con $5\times 5$ bất kỳ có ít nhất 8 ô được tô màu đen. Tìm số ô đen ít nhất có thể tô trên bảng ô vuông.