Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $g(x)=f(2x^4-1)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?


Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
$f^{\prime }(u)>0⟺u\in (-1;3)$ và $f^{\prime }(u)<0⟺u\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
Xét hàm số $g(x)=f(2x^4-1)$:
$g^{\prime }(x)=8x^3{f}^{\prime }(2x^4-1)$.
Hàm số $g(x)$ đồng biến khi và chỉ khi $g^{\prime }(x)\ge 0$:
- Trường hợp 1: $x>0⟹x^3>0$. Ta cần $f^{\prime }(2x^4-1)\ge 0⟺-1\le 2x^4-1\le 3⟺0\le x^4\le 2⟺0<x\le \sqrt[4]{2}\approx 1,189$.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(0;\sqrt[4]{2})$.
Vì $\left(\frac{1}{2};1\right)\subset (0;\sqrt[4]{2})$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$.
- Trường hợp 2: $x<0⟹x^3<0$. Ta cần $f^{\prime }(2x^4-1)\le 0⟺2x^4-1\ge 3⟺x^4\ge 2⟺x\le -\sqrt[4]{2}$.
Trong 4 phương án đề bài cho, chỉ có khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$ thỏa mãn. Chọn D.