(0,5 điểm) Giải bất phương trình ${\log }_2(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0$ và $2x+1>0$ ⟹ $x>-\frac{1}{2}$. Vì ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)=-{\log }_2(2x+1)$, bất phương trình trở thành ${\log }_2(x+1)+{\log }_2(2x+1)<0\iff {\log }_2[(x+1)(2x+1)]<0$. Suy ra $(x+1)(2x+1)<1\iff 2x^2+3x<0\iff -\frac{3}{2}<x<0$. Kết hợp điều kiện $x>-\frac{1}{2}$ ta được $S=\left(-\frac{1}{2};0\right)$. Kiểm tra: tại $x=-0,25$: ${\log }_2(0,75)\approx -0,415<{\log }_{1/2}(0,5)=1$ (thỏa); tại $x=0,5$: ${\log }_2(1,5)\approx 0,585>{\log }_{1/2}(2)=-1$ (không thỏa). Vậy $S=\left(-\frac{1}{2};0\right)$.