(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có $AD=2a$ và $AB=BC=a,SA=a,SA\perp (ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.

b) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBI)$.

c) Tính góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a)$, $I(0;a;0)$ (vì hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD\parallel BC$ cùng vuông $AB$).

a) Vì hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $AB\perp AD$; mà $BC\parallel AD$ nên $AB\perp BC$. Ngoài ra $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$. Vậy $BC\perp (SAB)$.

b) Tam giác $ABI$ vuông tại $A$ có $AB=AI=a$ nên $△ABI$ vuông cân, suy ra $BI\perp AC$ (vì $AC$ tạo góc $45^{\circ }$ với $AB$, $BI$ tạo góc $45^{\circ }$ với $BA$). Mặt khác $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BI$. Vậy $BI\perp (SAC)$ mà $BI\subset (SBI)$, do đó $(SAC)\perp (SBI)$.

Kiểm tra tọa độ: $\overrightarrow{BI}=(-a;a;0)$, pháp tuyến $(SAC)\propto (1;-1;0)$, tích vô hướng $=0$. Đúng.

c) Vì $BC\parallel AD$ nên $BC\parallel (SAD)$; do đó giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $d$ qua $S$ song song $AD$.

Ta có $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $AD\perp (SAB)$; suy ra $d\perp (SAB)$, do đó $d\perp SB$ với $SB\subset (SBC)$ và $d\perp SA$ với $SA\subset (SAD)$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng góc giữa $SB$ và $SA$, tức là góc $BSA$ của tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ ($SA=AB=a$, $SB=a\sqrt{2}$):
$\cos \widehat{BSA}=\frac{SA}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Kiểm tra bằng pháp tuyến: $(SAD)$ có pháp tuyến $(1;0;0)$, $(SBC)$ có pháp tuyến $(1;0;1)$, $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$.