(1 điểm) Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;2;3),B(3;0;1),C(5;-1;2),D(3;7;4)$. Biết điểm $M$ di động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ để biểu thức $P=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2{\overrightarrow{MC}}^2+3{\overrightarrow{MD}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$ và tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

Cách 1: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $H$ là điểm thỏa ${\overrightarrow{HI}}^2+2\overrightarrow{HC}+3\overrightarrow{HD}=\vec{0}$. Tính đúng $I(2;1;2)$, $H\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};3\right)$ — 0,25 điểm.
Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P=6M{H}^2+H{I}^2+2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ — 0,25 điểm.
Nhận xét: $H{I}^2+2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ không đổi, nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MH$ nhỏ nhất. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ — 0,125 điểm.
Kết luận đúng tọa độ $M\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};0\right)$ — 0,125 điểm.
Tính được giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{887}{6}$ — 0,25 điểm.
Cách 2: Gọi $M(x;y;0)$, $\overrightarrow{MA}=(1-x,2-y,3)$, $\overrightarrow{MB}=(3-x,-y,1)$, $\overrightarrow{MC}=(5-x,-1-y,2)$, $\overrightarrow{MD}=(3-x,7-y,4)$ — 0,125 điểm.
$P=(x-1)(x-3)+y(y-2)+3+2\left[(x-5{)}^2+(y+1{)}^2+4\right]+3\left[(x-3{)}^2+(y-7{)}^2+16\right]$ — 0,25 điểm.
$P=6x^2+6y^2-42x-40y+288$ — 0,25 điểm.
$P=6\left[{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{10}{3}\right)}^2+\frac{887}{36}\right]\ge 6.\frac{887}{36}=\frac{887}{6}$ khi $x=\frac{7}{2};y=\frac{10}{3}$ — 0,25 điểm.
Kết luận tọa độ $M\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};0\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{887}{6}$ — 0,125 điểm.