Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A là gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$ với $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ đôi một vuông góc và cùng độ dài. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$.

a) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{d}+\vec{a}$ vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.

b) $I$ là trung điểm $AC$ nên $\vec{I}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$; $G$ trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }G}=\vec{G}-\vec{a}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{3}$ và $\overrightarrow{GI}=\vec{I}-\vec{G}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{6}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }G}=2\overrightarrow{GI}$. Đúng.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, không phải với bộ điểm $A,B,C$. Thật vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-3\vec{G}+\vec{b}+(\vec{b}+\vec{d})=\vec{b}-\vec{a}\ne \vec{0}$. Sai.

d) $I$ là tâm hình vuông $ABCD$, $D$ và $C$ là hai đỉnh kề nhau nên $\overrightarrow{ID}$ và $\overrightarrow{IC}$ vuông góc, cùng độ dài nhưng khác hướng, do đó không bằng nhau. Sai.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 2): a)Đ - b)Đ - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\vec{I}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$: $\overrightarrow{B^{\prime }G}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{3}=2\overrightarrow{GI}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$; còn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{b}-\vec{a}\ne \vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $\overrightarrow{ID}$ và $\overrightarrow{IC}$ vuông góc, cùng độ dài nhưng khác hướng, do đó không bằng nhau.