(1,0 điểm) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x-3y-5=0$ và hai điểm $A(2;3)$, $B(1;1)$. a) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $AB$. b) Viết phương trình đường thẳng $d$ song song với $\Delta$ và cách $\Delta$ một khoảng bằng $\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3. a) Đường thẳng $\Delta$: $x-3y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-3)$. Vectơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$, nên $\overrightarrow{n_2}=(-2;1)$ là pháp tuyến của $AB$ (hoặc dùng trực tiếp $\overrightarrow{AB}$).

$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|}=\frac{|1\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{|-1+6|}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy góc giữa $\Delta$ và $AB$ là $\phi =45^{\circ }$ (hoặc $\frac{\pi }{4}$).

b) Vì $d$ song song với $\Delta$ nên $d$ có dạng $x-3y+c=0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
$$d(\Delta ,d)=\frac{|c-(-5)|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|c+5|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$$
Suy ra $|c+5|=10\Rightarrow c=5$ hoặc $c=-15$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $d_1:x-3y+5=0$ và $d_2:x-3y-15=0$.