(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và $SA$.

a) Chứng minh rằng $OE//(SAB)$.

b) Chứng minh rằng $(OEF)//(SCD)$.

c) Điểm $K$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $\widehat{BAE}=\widehat{CAK}$ và điểm $H$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $KH$ song song $(SBC)$. Tính tỉ số $\frac{SH}{SA}$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Chứng minh $OE//(SAB)$.**
Trong tam giác $ABC$: $O$ là trung điểm $AC$ (vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$) và $E$ là trung điểm $BC$, nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $OE//AB$.
Vì $AB\subset (SAB)$ và $OE\not\subset (SAB)$ nên $OE//(SAB)$.

**b) Chứng minh $(OEF)//(SCD)$.**
- Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$, $F$ là trung điểm $SA$ nên $OF$ là đường trung bình, suy ra $OF//SC$. Vì $SC\subset (SCD)$, $OF\not\subset (SCD)$ nên $OF//(SCD)$.
- Từ câu a): $OE//AB$; mà $AB//CD$ (hình vuông $ABCD$) nên $OE//CD$. Vì $CD\subset (SCD)$, $OE\not\subset (SCD)$ nên $OE//(SCD)$.
- $OF$ và $OE$ cắt nhau tại $O$, cùng thuộc $(OEF)$, và $(OEF)$ không trùng $(SCD)$.
Vậy $(OEF)//(SCD)$.

**c) Tính $\frac{SH}{SA}$.**
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(p;q;r)$, $a>0$. Khi đó $E\left(a;\frac{a}{2};0\right)$ nên $\tan \widehat{BAE}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}$.

*Tìm $K$:* $K=(x;a;0)$, $0\le x\le a$. Góc $\widehat{DAK}$ có $\tan \widehat{DAK}=\frac{a}{x}$, và $\widehat{CAK}=\widehat{DAK}-45^{\circ }$, nên
$$\tan \widehat{CAK}=\frac{\frac{a}{x}-1}{1+\frac{a}{x}}=\frac{a-x}{a+x}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2a-2x=a+x\Rightarrow x=\frac{a}{3}.$$
Vậy $K\left(\frac{a}{3};a;0\right)$.

*Tìm $H$:* Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(a-p;-q;-r)\times (a-p;a-q;-r)=a(r;0;a-p).$$
Mặt phẳng qua $K$ song song $(SBC)$: $r\left(X-\frac{a}{3}\right)+(a-p)Z=0$.
Điểm $H\in SA$: $H=S+\lambda (A-S)=((1-\lambda )p;(1-\lambda )q;(1-\lambda )r)$ với $\lambda =\frac{SH}{SA}$. Thay vào:
$$r((1-\lambda )p-\frac{a}{3})+(a-p)(1-\lambda )r=0$$
$$\Rightarrow a(1-\lambda )r-\frac{ar}{3}=0\Rightarrow 1-\lambda =\frac{1}{3}\Rightarrow \lambda =\frac{2}{3}.$$
Vì $\lambda =\frac{2}{3}\in (0;1)$, $H$ thuộc đoạn $SA$, thỏa mãn giả thiết.

Vậy $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{3}$.