Góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $3\cos 2\alpha +\sin \alpha -2=0$. Khi đó với $\sin \alpha =\frac{m}{n}<0$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ vào phương trình: $3(1-2{\sin }^2\alpha )+\sin \alpha -2=0\iff -6{\sin }^2\alpha +\sin \alpha +1=0\iff 6{\sin }^2\alpha -\sin \alpha -1=0$. Đặt $t=\sin \alpha$, ta có $6t^2-t-1=0$, giải được $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-\frac{1}{3}$. Vì $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-\frac{1}{3}$, tức $m=-1$, $n=3$ (phân số tối giản). Vậy $m+n=-1+3=2$.