Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3$ và $u_n-u_{n-1}=2n-3$ với mọi $n\ge 2$. Tìm giá trị $\frac{u_{1000}}{109}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\ge 2$, ta có $u_n=u_1+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)=3+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)$. Tổng ${\sum }_{k=2}^n(2k-3)=2\cdot \frac{(2+n)(n-1)}{2}-3(n-1)=(n-1)(n+2)-3(n-1)=(n-1{)}^2$. Vậy $u_n=3+(n-1{)}^2$ (kiểm tra: $u_1=3$ đúng, $u_2=4=3+1$ vì $u_2-u_1=1$ đúng). Do đó $u_{1000}=3+999^2=3+998001=998004$. Tính $\frac{u_{1000}}{109}=\frac{998004}{109}=9156$ (vì $109\times 9156=998004$).