(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SD=a$ và các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Nhận xét về đáy: Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD=DA=1$ nên $ABCD$ là hình thoi. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo; khi đó $O$ là trung điểm của $AC$ và của $BD$, đồng thời $AC\perp BD$. Đặt $OA=OC=m>0$ và $OB=OD=n>0$. Chứng minh $AC\perp (SBD)$: Từ giả thiết, $SA=SC=1$, $BA=BC=1$, $DA=DC=1$ nên ba điểm $S,B,D$ đều cách đều hai điểm $A$ và $C$. Vì $S\notin (ABCD)$ nên $S,B,D$ không thẳng hàng, do đó $(SBD)$ chính là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AC$. Suy ra $AC\perp (SBD)$, kéo theo $AC\perp SO$ và $AC\perp BO$. Chứng minh tam giác $SBD$ vuông tại $S$: Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ và tam giác $BOA$ vuông tại $O$ nên $$S{O}^2=S{A}^2-O{A}^2=1-m^2,n^2=O{B}^2=A{B}^2-O{A}^2=1-m^2.$$ Do đó $SO=n=OB=OD$, nghĩa là trong tam giác $SBD$, trung tuyến $SO$ ứng với cạnh $BD$ bằng nửa cạnh $BD$. Vậy tam giác $SBD$ vuông tại $S$. Tính các kích thước của đáy: Từ tam giác $SBD$ vuông tại $S$: $$B{D}^2=S{B}^2+S{D}^2=1+a^2\Rightarrow 2n=\sqrt{1+a^2},n=\frac{\sqrt{1+a^2}}{2}.$$ Kết hợp $m^2=1-n^2$ ta được $m^2=\frac{3-a^2}{4}$, tức $m=\frac{\sqrt{3-a^2}}{2}$; điều kiện để hình chóp tồn tại là $0<a<\sqrt{3}$. Khi đó $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 2m\cdot 2n=2mn=\frac{\sqrt{(3-a^2)(1+a^2)}}{2}.$$ Tính chiều cao: Vì $AC\perp (SBD)$ và $AC\subset (ABCD)$ nên $(SBD)\perp (ABCD)$, với giao tuyến là $BD$. Gọi $SH$ là đường cao của tam giác $SBD$ hạ từ $S$ ($H\in BD$); khi đó $SH\perp BD$ nên $SH\perp (ABCD)$, tức $SH$ là chiều cao của khối chóp. Trong tam giác vuông $SBD$: $$SH=\frac{SB\cdot SD}{BD}=\frac{1\cdot a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}.$$ Kết luận: $$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{(3-a^2)(1+a^2)}}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a\sqrt{3-a^2}}{6}.$$ Đáp số: $V_{S.ABCD}=\frac{a\sqrt{3-a^2}}{6}$ với $0<a<\sqrt{3}$.