Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc sáu, có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g(x)=f(x^2)$, hỏi bất phương trình $g^{\prime }(x)\ge 0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$?

Xác định dạng của $f^{\prime }$: Vì $f$ là hàm số đa thức bậc sáu nên $f^{\prime }$ là hàm số đa thức bậc năm. Từ đồ thị, $f^{\prime }$ có ba nghiệm $x=-2$, $x=1$, $x=5$; tại $x=-2$ và $x=5$ đồ thị tiếp xúc với trục hoành nên đó là các nghiệm bội chẵn, còn tại $x=1$ đồ thị cắt trục hoành và $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên đó là nghiệm bội lẻ. Do tổng các bội bằng 5, ta được $$f^{\prime }(x)=k(x+2{)}^2(x-1)(x-5{)}^2,k>0.$$ Tính đạo hàm của hàm hợp: Với $g(x)=f(x^2)$ ta có $$g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2kx(x^2+2{)}^2(x^2-1)(x^2-5{)}^2.$$ Xét dấu: Vì $k>0$ và $(x^2+2{)}^2>0$ với mọi $x$, còn $(x^2-5{)}^2\ge 0$ nên $$g^{\prime }(x)\ge 0⟺x(x^2-1)(x^2-5{)}^2\ge 0⟺\left[x=\pm \sqrt{5}\text{ hoặc }x(x-1)(x+1)\ge 0\right].$$ Lập bảng xét dấu của $x(x-1)(x+1)$ ta được $x(x-1)(x+1)\ge 0⟺x\in [-1;0]\cup [1;+\infty )$. Đếm nghiệm nguyên: Hai giá trị $x=\pm \sqrt{5}$ không nguyên. Các nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$ gồm: $x\in [-1;0]$: có 2 số nguyên là $-1$ và $0$; $x\in [1;2027]$: có 2027 số nguyên là $1;2;\dots ;2027$. Tổng cộng có $2+2027=2029$ nghiệm nguyên. Đáp số: Bất phương trình có 2029 nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$.