Cho dãy số $(u_n)$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn $u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n=3n^2-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của biểu thức $u_1+u_3+u_5+\cdots +u_{19}$ bằng bao nhiêu?

Xác định số hạng tổng quát: Đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n=3n^2-1$. Khi đó $u_1=S_1=2$ và với mọi $n\ge 2$, $$u_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-1)-(3(n-1{)}^2-1)=6n-3.$$ Tách riêng số hạng đầu: Tổng cần tính gồm $u_1$ và các số hạng $u_n$ với $n=3;5;\dots ;19$, tức là $n=2k-1$ cho $k=2;3;\dots ;10$. Với các chỉ số này, $u_{2k-1}=6(2k-1)-3=12k-9$. Tính tổng: $$u_1+u_3+\cdots +u_{19}=2+\sum _{k=2}^{10}(12k-9)=2+12\sum _{k=2}^{10}k-9\cdot 9=2+12\cdot 54-81=569.$$ Đáp số: $u_1+u_3+u_5+\cdots +u_{19}=569$.