Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2$ cm, $BC=4$ cm. Gọi $A_1,A_2,B_1,B_2$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD,BC,DA$. Một elip nhận bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ là các đỉnh và cắt đường chéo $AC$ tại hai điểm $M,N$ (tham khảo hình vẽ).
Một chất điểm di chuyển trên đường thẳng $AC$ theo hướng từ $A$ đến $C$ với vận tốc là 1 cm/s. Thời gian để chất điểm di chuyển từ $M$ đến $N$ là bao nhiêu giây?

Chọn hệ trục tọa độ: Chọn hệ trục $Bxy$ với góc $B$, tia $Bx$ chứa $BC$, tia $By$ chứa $BA$. Khi đó $$B(0;0),C(4;0),D(4;2),A(0;2),$$ $$A_1(0;1),A_2(4;1),B_1(2;0),B_2(2;2).$$ Lập phương trình elip: Bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ là các đỉnh của elip nên elip có tâm là trung điểm $I(2;1)$ của $A_1{A}_2$, một trục nằm ngang độ dài $A_1{A}_2=4$ và một trục thẳng đứng độ dài $B_1{B}_2=2$. Do đó elip có phương trình $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+(y-1{)}^2=1.$$ Tìm hai giao điểm với đường chéo $AC$: Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;2)$ và $C(4;0)$ nên có phương trình $y=2-\frac{x}{2}$. Thay vào phương trình elip: $$\frac{(x-2{)}^2}{4}+{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2=1\iff \frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(x-2{)}^2}{4}=1\iff (x-2{)}^2=2\iff x=2\pm \sqrt{2}.$$ Vậy hai giao điểm là $$M\left(2-\sqrt{2};1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right),N\left(2+\sqrt{2};1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ Tính thời gian: Ta có $MN=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{10}$ (cm). Vì chất điểm chuyển động với vận tốc 1 cm/s nên thời gian cần tìm bằng $\frac{MN}{1}=\sqrt{10}$ (giây). Đáp số: Thời gian cần tìm bằng $\sqrt{10}\approx 3,16$ giây.