Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[S,BD,C]$. Hỏi $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Dựng góc phẳng nhị diện: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BD$. Khi đó $BD\perp AH$; mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $BD\perp SA$. Suy ra $BD\perp (SAH)$, do đó $BD\perp SH$. Vậy $\widehat{SHA}$ là góc phẳng của góc nhị diện $[S,BD,A]$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, hai điểm $A$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BD$; tia vuông góc với $BD$ tại $H$ hướng về phía chứa $C$ là tia đối của tia $HA$. Do đó hai góc nhị diện $[S,BD,A]$ và $[S,BD,C]$ bù nhau: $$\alpha =180^{\circ }-\widehat{SHA}.$$ Tính các độ dài: Trong tam giác vuông $ABD$: $$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5},AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\cdot 2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$$ Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ nên $$\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{2a}{\frac{2a\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}⟹\cos \widehat{SHA}=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\widehat{SHA}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.$$ Vậy $\cos \alpha =-\cos \widehat{SHA}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$. Đáp số: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{6}\approx -0,41$.