Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(0;2)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=4$. Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}$ bằng bao nhiêu?

Vì $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=4$ là một số hữu hạn và $\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)=0$ nên $$\underset{x\to 1}{\lim }(f(x)-2)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}\cdot (x-1)=4\cdot 0=0,$$ do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$. Suy ra $\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt{f(x)+2}=2$, nên biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng vô định $\frac{0}{0}$. Nhân với biểu thức liên hợp: với $x$ đủ gần 1 và $x\ne 1$, $$\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}=\frac{4x^2-f(x)-2}{(x-1)(x-2)(2x+\sqrt{f(x)+2})}=\frac{4(x^2-1)-(f(x)-2)}{(x-1)(x-2)(2x+\sqrt{f(x)+2})}.$$ Rút gọn nhân tử $x-1$ (chia cả tử và mẫu cho $x-1$): $$\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}=\frac{4(x+1)-\frac{f(x)-2}{x-1}}{(x-2)\left(2x+\sqrt{f(x)+2}\right)}.$$ Chuyển qua giới hạn: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}=\frac{4\cdot 2-4}{(1-2)(2+2)}=\frac{4}{-4}=-1.$$ Đáp số: Giới hạn cần tìm bằng $-1$.