(2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $(C_1)$, $(C_2)$ lần lượt là đồ thị các hàm số $y={\log }_{4}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$.
a) Đường thẳng $(d)$ có phương trình $x=a$ $(0<a\ne 1)$ cắt $(C_1)$, $(C_2)$ lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ và cắt trục hoành tại $I$. Tính $\frac{S_{\Delta OIA}}{S_{\Delta OIB}}$ ($S_{\Delta OIA}$, $S_{\Delta OIB}$ lần lượt là diện tích các tam giác $OIA$ và $OIB$).
b) Tìm tọa độ các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc $(C_1)$, $(C_2)$ sao cho $G(2;0)$ là trọng tâm của tam giác $OMN$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=a, ta có A=(a; log_4 a), B=(a; log_{1/2} a)=(a; -2log_4 a), I=(a;0). Diện tích tam giác OIA là S_{OIA} = (1/2)·a·|log_4 a|, diện tích tam giác OIB là S_{OIB} = (1/2)·a·|log_{1/2} a| = (1/2)·a·2|log_4 a|. Vậy S_{OIA}/S_{OIB} = 1/2.

b) M=(m; log_4 m) thuộc (C_1), N=(n; log_{1/2} n) thuộc (C_2). G(2;0) là trọng tâm tam giác OMN nên (m+n)/3 = 2 ⇒ m+n=6, và (log_4 m + log_{1/2} n)/3 = 0 ⇒ (1/2)log_2 m - log_2 n = 0 ⇒ n = √m. Thay vào: m + √m = 6. Đặt t=√m>0: t²+t-6=0 ⇒ t=2 (nhận), t=-3 (loại). Suy ra m=4, n=2. Vậy M=(4;1), N=(2;-1). Kiểm tra: trọng tâm = ((4+2)/3; (1-1)/3)=(2;0) đúng.