a) Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-2x-3}{x+1}& \text{khi }x\ne -1,\\ 4-2a^2& \text{khi }x=-1.\end{array}$ Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=-1$.
b) Chứng minh rằng phương trình $x^5-x-3=0$ có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\ne -1$: $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{(x-3)(x+1)}{x+1}=x-3$. Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }(x-3)=-4$.
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $f(-1)=\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$, tức $4-2a^2=-4\iff 2a^2=8\iff a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vậy $a=\pm 2$.

b) Xét $g(x)=x^5-x-3$, hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g(1)=1-1-3=-3<0$ và $g(2)=32-2-3=27>0$.
Vì $g$ liên tục trên đoạn $[1;2]$ và $g(1)\cdot g(2)<0$, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $g(x)=0$ tức $x^5-x-3=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;2)$.
Vậy phương trình $x^5-x-3=0$ có nghiệm (đpcm).