a) Giải phương trình $5^{\sqrt{x}}-5^{1-\sqrt{x}}+4=0$.

b) Giải bất phương trình ${\log }_5(1-2x)<1+{\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$.

c) Tìm tập xác định hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4\left(2x\right)\right]}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

a) Điều kiện: $x\ge 0$. Đặt $t=5^{\sqrt{x}}>0$, khi đó $5^{1-\sqrt{x}}=\frac{5}{t}$. Phương trình trở thành $t-\frac{5}{t}+4=0\iff t^2+4t-5=0\iff (t-1)(t+5)=0$. Vì $t>0$ nên $t=1$, tức $5^{\sqrt{x}}=1\iff \sqrt{x}=0\iff x=0$. Vậy $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

b) Điều kiện: $1-2x>0$ và $x+1>0$, tức $-1<x<\frac{1}{2}$. Vì ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)=2{\log }_5(x+1)$, bất phương trình trở thành
$${\log }_5(1-2x)<2+2{\log }_5(x+1)\iff {\log }_5\frac{1-2x}{(x+1{)}^2}<2.$$
Vì $(x+1{)}^2>0$ nên tương đương $\frac{1-2x}{(x+1{)}^2}<25\iff 1-2x<25(x+1{)}^2\iff 25x^2+52x+24>0$.
Phương trình $25x^2+52x+24=0$ có $\Delta =2704-2400=304$, hai nghiệm $x=\frac{-52\pm \sqrt{304}}{50}=\frac{-26\pm 2\sqrt{19}}{25}$. Vậy $x<\frac{-26-2\sqrt{19}}{25}$ hoặc $x>\frac{-26+2\sqrt{19}}{25}$.
Kết hợp với điều kiện $-1<x<\frac{1}{2}$ (chú ý $\frac{-26-2\sqrt{19}}{25}\approx -1,39<-1$ và $\frac{-26+2\sqrt{19}}{25}\approx -0,69$), tập nghiệm là
$$S=\left(\frac{-26+2\sqrt{19}}{25};\frac{1}{2}\right).$$

c) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4(2x)\right]}}$ xác định khi
$$\{\begin{array}{l}{\log }_4(2x)>0\\ {\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4(2x)\right]>0\end{array}$$
Từ ${\log }_4(2x)>0\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}$.
Vì cơ số $\frac{1}{3}<1$, điều kiện thứ hai tương đương ${\log }_4(2x)<1\iff 2x<4\iff x<2$.
Vậy tập xác định là $D=\left(\frac{1}{2};2\right)$.