Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $SBC$ vuông tại $B$, mặt bên $SCD$ vuông tại $D$ có $SD=a\sqrt{5}$.

a) Chứng minh $SA\perp \left(ABCD\right)$, tính $SA$.

b) Đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $AC$ cắt đường thẳng $CB,CD$ lần lượt tại $I,J$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SC$. Hãy xác định các giao điểm $K,L$ của $SB,SD$ với mặt phẳng $(HIJ)$. Chứng minh $AK\perp \left(SBC\right)$ và $AL\perp \left(SCD\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì mặt bên $(SBC)$ vuông tại $B$ nên $SB\perp BC$; vì $AD\parallel BC$ nên $SB\perp AD$. Mặt bên $(SCD)$ vuông tại $D$ nên $SD\perp CD$; vì $AB\parallel CD$ nên $SD\perp AB$.
- Xét mặt phẳng $(SAD)$: $AB\perp AD$ (hình chữ nhật) và $AB\perp SD$ $\Rightarrow AB\perp (SAD)$ $\Rightarrow AB\perp SA$.
- Xét mặt phẳng $(SAB)$: $AD\perp AB$ và $AD\perp SB$ $\Rightarrow AD\perp (SAB)$ $\Rightarrow AD\perp SA$.
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$, $AB\cap AD=A$ nên $SA\perp (ABCD)$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $SD=a\sqrt{5}$, $AD=BC=a\sqrt{3}$ nên $SA=\sqrt{S{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{5a^2-3a^2}=a\sqrt{2}$.
(Thử lại: $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{3}$, $SC=\sqrt{S{D}^2+C{D}^2}=a\sqrt{6}$, và $S{B}^2+B{C}^2=3a^2+3a^2=6a^2=S{C}^2$ — thỏa mãn $SBC$ vuông tại $B$.)

b) Đặt hệ tọa độ $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a\sqrt{3})$, $D(0,a\sqrt{3})$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AC$ có phương trình $x+\sqrt{3}y=0$; cắt $CB$ $(x=a)$ tại $I\left(a,-\frac{a}{\sqrt{3}}\right)$ và cắt $CD$ $(y=a\sqrt{3})$ tại $J(-3a,a\sqrt{3})$. Vậy $I$, $A$, $J$ thẳng hàng, tức $IJ$ chính là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AC$.

Chứng minh $A,I,J,H$ đồng phẳng: vì $IJ\perp AC$ và $IJ\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$ mà $IJ$ nằm trong đáy) nên $IJ\perp (SAC)$ $\Rightarrow IJ\perp SC$; lại có $AH\perp SC$ (giả thiết). $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $IJ$ và $AH$ nên $SC\perp (HIJ)$, tức $A,H,I,J$ cùng thuộc một mặt phẳng vuông góc với $SC$ tại $H$.

Xác định $K$: $K=SB\cap (HIJ)$. Vì $K\in (HIJ)$ nên $AK\perp SC$. Mặt khác $BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$; mà $AK\subset (SAB)$ (vì $K\in SB$) nên $AK\perp BC$. $SC\cap BC=C$ nên $AK\perp (SBC)$.

Xác định $L$: $L=SD\cap (HIJ)$. Vì $L\in (HIJ)$ nên $AL\perp SC$. Mặt khác $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$; mà $AL\subset (SAD)$ (vì $L\in SD$) nên $AL\perp CD$. $SC\cap CD=C$ nên $AL\perp (SCD)$.

Vị trí cụ thể: $K$ là chân đường cao hạ từ $A$ trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$, với $SK=\frac{S{A}^2}{SB}=\frac{2a^2}{a\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$; $L$ là chân đường cao hạ từ $A$ trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, với $SL=\frac{S{A}^2}{SD}=\frac{2a^2}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$.