a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x\sqrt{x^2+1}$.

b) Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{2}$. Chứng minh rằng $2y\cdot y^{\prime \prime }-1={\left(y^{\prime }\right)}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4a) Hàm số $y=x\sqrt{x^2+1}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Theo quy tắc nhân và quy tắc chuỗi:
$$y^{\prime }=\sqrt{x^2+1}+x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{(x^2+1)+x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Câu 4b) Với $y=\frac{x^2-2x+2}{2}=\frac{1}{2}{x}^2-x+1$, ta có:
$$y^{\prime }=x-1,y^{\prime \prime }=1.$$
Khi đó:
$$2y\cdot y^{\prime \prime }-1=2\left(\frac{x^2-2x+2}{2}\right)\cdot 1-1=x^2-2x+2-1=x^2-2x+1=(x-1{)}^2=(y^{\prime }{)}^2.$$
Vậy $2y\cdot y^{\prime \prime }-1=(y^{\prime }{)}^2$ (điều phải chứng minh).