Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}& \text{khi }x\ne 1,\\ 3m-2& \text{khi }x=1\end{array}$ liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=3m-2$.

Tính giới hạn: đặt $t=\sqrt[3]{x-2}$, khi $x\to 1$ thì $t\to -1$, và $x=t^3+2$.
Khi đó:
- Tử số: $\sqrt[3]{x-2}+2x-1=t+2(t^3+2)-1=2t^3+t+3$.
- Mẫu số: $x-1=t^3+1$.

Phân tích:
$$2t^3+t+3=(t+1)(2t^2-2t+3),t^3+1=(t+1)(t^2-t+1).$$
Vậy
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{t\to -1}{\lim }\frac{2t^2-2t+3}{t^2-t+1}=\frac{2+2+3}{1+1+1}=\frac{7}{3}.$$

Điều kiện liên tục: $3m-2=\frac{7}{3}\Rightarrow 3m=\frac{13}{3}\Rightarrow m=\frac{13}{9}$.