Tính các giới hạn

a) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}$.

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2-4x-3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Ta có $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}$. Nhân liên hợp:
$$\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}=\frac{(1-\sqrt{x-3})(1+\sqrt{x-3})}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}=\frac{1-(x-3)}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}=\frac{4-x}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}$$
$$=\frac{-1}{(x+4)(1+\sqrt{x-3})}.$$
Do đó $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}=\frac{-1}{(4+4)(1+\sqrt{1})}=\frac{-1}{8\cdot 2}=-\frac{1}{16}.$

b) Với $x\to +\infty$:
$$x-\sqrt{x^2-4x-3}=\frac{x^2-(x^2-4x-3)}{x+\sqrt{x^2-4x-3}}=\frac{4x+3}{x+\sqrt{x^2-4x-3}}=\frac{4+\frac{3}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}}.$$
Khi $x\to +\infty$, $\frac{3}{x}\to 0$, $\sqrt{1-\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}\to 1$, nên giới hạn bằng $\frac{4}{1+1}=2.$

Vậy a) $-\frac{1}{16}$; b) $2$.