Bác An muốn xây một chiếc bể bơi cho trẻ em trong mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích 144 m². Biết bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có hai đỉnh đối diện của đáy là $A$ và $E$, với $E$ thuộc đường chéo $BD$; độ sâu của bể bơi không đổi bằng 1,5 m (tham khảo hình vẽ). Chi phí lát gạch cho nền bể là 1.000.000 VND/m² và chi phí lát gạch cho thành bể là 500.000 VND/m³. Hỏi khi diện tích đáy bể đạt giá trị lớn nhất thì chi phí phải bỏ ra để lát gạch cho nền và thành bể bơi này là bao nhiêu triệu đồng?

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông ABCD: $a^2=144\Rightarrow a=12$ m. Theo hình vẽ, đáy bể là hình chữ nhật $AMEN$ với $M\in AB$, $N\in AD$, $E\in BD$ là đỉnh đối diện với $A$. Gọi $AM=AN=x$ ($0<x<12$) thì các kích thước đáy là $x$ và $12-x$ (do $E$ nằm trên đường chéo $BD$ nên $MB=ND=12-x$).

Diện tích đáy: $S(x)=x(12-x)=12x-x^2$.
$S^{\prime }(x)=12-2x=0\Rightarrow x=6$; vì $S^{\prime \prime }(x)=-2<0$ nên $S$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=6$, khi đáy là hình vuông cạnh 6 m, $S_{max}=36$ m².

Chi phí lát nền: $36\times 1.000.000=36$ triệu đồng.

Diện tích thành bể (4 mặt bên): chu vi đáy $2(6+6)=24$ m, nhân độ sâu 1,5 m: $24\times 1,5=36$ m². Chi phí lát thành: $36\times 500.000=18$ triệu đồng (đơn vị m³ trong đề là lỗi đánh máy, lát gạch tính theo diện tích m²).

Tổng chi phí: $36+18=54$ triệu đồng.